Question

17．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，B′C交AD于E，A′D′交AD延长线于F，当E为AF中点时，△CEF的面积是$\frac{75}{4}$．

Answer 1

分析 设ED=x，则AE=8-x，DF=8-2x，根据AAS证得△EGF≌△CDE，得出ED=GF=x，从而求得B′E=AG=x，则CE=8-x，在RT△EDC中，根据勾股定理求得x的值，即可求得EF的长，然后根据三角形面积公式求得即可．

解答 解：作EG⊥A′D′于G，则EG=A′B′=AB=6，B′E=A′G，
设ED=x，则AE=8-x，
∵E为AF中点，
∴DF=EF-DE=8-x-x=8-2x，
∴D′F=8-2x，
∴A′F=2x，
∵A′D′∥B′C，
∴∠A′FE=∠DEC，
在△EGF和△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DEC}\\{∠EGF=∠EDC=90°}\\{EG=CD}\end{array}\right.$
∴△EGF≌△CDE（AAS），
∴ED=GF=x，
∴B′E=AG=x，
∴CE=8-x，
在RT△EDC中，CE²=DE²+CD²，
∴（8-x）²=x²+6²，解得x=$\frac{7}{4}$，
∴EF=AE=8-x=$\frac{25}{4}$，
∴△CEF的面积是：$\frac{1}{2}$EF•CD=$\frac{1}{2}×$$\frac{25}{4}$×6=$\frac{75}{4}$，
故答案为$\frac{75}{4}$．

点评 本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．