Question

抛物线y＝－x²＋(k＋1)x－k与x轴交于A、B两点(点A在点B左边)，与y轴的正半轴交于点C，问是否存在实数k，使△AOC与以C、O、B为顶点的三角形相似？若存在，求出相应的k的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：令x＝0，则y＝－k， 　　∴C(0，－k)． 　　∵点C在y轴正半轴上，－k＞0， 　　∴k＜0． 　　令y＝0，则－x2＋(k＋1)x－k＝0 　　解得x1＝k，x2＝1． 　　∵点A在点B左边， 　　∴A(k，0)，B(1，0)． 　　(由于k＜0，A、B两点位于原点两侧，如上图．) 　　若△AOC和以C、O、B为顶点的三角形相似，因它们都是直角三角形，只需 　　＝①或＝②， 　　由①得AO＝BO＝1， 　　∴k＝－1！ 　　[注意：这里很容易误认为k＝1，要注意k＜0！这是点A的横坐标k与线段AO(或BO)的长1(－k＝线段AO的长)之间的转化．] 　　由②得CO2＝AO·BO， 　　即(－k)2＝(－k)×1， 　　[注意：这里又是点A的横坐标k和线段AO的长(－k＝线段AO的长)、点C的纵坐标－k和线段CO的长(－k＝线段CO的长)、点B的横坐标1与线段BO的长(1＝线段BO的长)之间的转化．] 　　解得k＝0或k＝－1． 　　∵k＜0， 　　∴k＝－1． 　　所以存在k＝－1，使△AOC∽△BOC或△AOC∽△COB． 　　点评：坐标轴上的点坐标与线段的长的转化，不容忽视的基础知识是：x轴正半轴上的点的横坐标为正，负半轴上的点的横坐标为负；y轴正半轴上的点的纵坐标为正，负半轴上的点的纵坐标负．在解题过程中应切记． 　　分析：先由抛物线解析式确定A、B、C三点的坐标，再根据题意进行探求．