Question

如图，菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上的任意一点，则PM+PN的最小值为

2

3

．

Answer 1

分析：先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠ABC=60°，作点N关于直线BD的对称点N′，连接N′M，N′N，则N′M的长即为PM+PN的最小值，由图可知，当点A与点N重合，CM⊥AB时PM+PN的值最小，再在Rt△BCM中利用锐角三角函数的定义求出MC的长即可．

解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=180°-∠DAB=180°-120°=60°，
作点N关于直线BD的对称点N′，连接N′M，N′N，则N′M的长即为PM+PN的最小值，由图可知，
当点A与点N重合，MN′⊥AB时PM+PN的值最小，
在Rt△BCM中，
∵BC=AB=4，∠ABC=60°，
∴CM=BC•sin∠ABC=4×

3

2

=2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．