Question

【题目】如图，等边三角形中，D是上一点，连接并将绕点A逆时针旋转120°得到线段，连接交于点F．

（1）当点D为中点，且时，___________；

（2）补全图形，探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见详解.

【解析】

（1）作，交CA的延长线于G，根据等边三角形的性质得出∠CAD=30°, AD⊥BC,进而求得BD=CD=1，等边三角形边长为2，易证得△AGE≌△DBA，GE=BC，AG=BD=1, 然后根据平行线分，线段成比例定理求得GF=FC=，即可求得AF;

（2）作,交CA的延长线于G,根据等边三角形的性质得出三角相等，进而求得∠ADB=∠EAG，易证得△AGE≌△DBA，证得GE=BC, AG=BD,然后根据平行线分线段成比例定理求得GF=FC，即可求得AF=CD.

（1）如图所示，作，交CA的延长线于G，

等边三角形中，点D为中点，

在和中，

,

,

,

(2)

如图所示，作交CA延长线于G，

,

,

,

在和中，

即.