Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．

（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BH＝．

【解析】

（1）先判断出∠AOC=90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；

（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．

（1）连接OC，

∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，

∴∠AOC＝90°，

∵OA＝OB，CD＝AC，

∴OC是△ABD是中位线，

∴OC∥BD，

∴∠ABD＝∠AOC＝90°，

∴AB⊥BD，

∵点B在⊙O上，

∴BD是⊙O的切线；

（2）由（1）知，OC∥BD，

∴△OCE∽△BFE，

∴，

∵OB＝2，

∴OC＝OB＝2，AB＝4，，

∴，

∴BF＝3，

在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，

∵S△ABF＝ABBF＝AFBH，

∴ABBF＝AFBH，

∴4×3＝5BH，

∴BH＝．