Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，点E在CB边上，以每秒1个单位的速度从点C向点B运动，运动时间为t（s），过点E作AB的平行线，交AC边于点D，以DE为边向上作等边△DEF，设△ABC与△DEF重叠部分的面积为S．
（1）当点F恰好落在AB边上时，求t的值；
（2）当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）由于ED∥AB，得出∠EDC=30°，解直角三角形得出ED=FD=2t，CD=$\sqrt{3}$t，进而求得AD=AC-CD=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，由等边三角形的性质求得∠ADF=90°，解直角三角形求得AD=$\sqrt{3}$DF=2$\sqrt{3}$t，从而得出5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t=2$\sqrt{3}$t，解方程即可求得；
（2）分两种情况，当0＜t≤$\frac{5}{3}$时，S就是等边三角形DEF的面积；当$\frac{5}{3}$＜t＜5时，S就是等边三角形DEF的面积减去等边三角形GHF的面积，再利用配方法写成顶点式，根据二次函数的性质即可求出S的最大值；

解答 解：（1）如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，DE∥AB，
∴∠CDE=∠A=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC=5$\sqrt{3}$，
∵EC=t，
∴ED=FD=2t，CD=$\sqrt{3}$t，
∴AD=AC-CD=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=60°，
∴∠ADF=90°，
∴AD=$\sqrt{3}$FD=2$\sqrt{3}$t，
∴5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t=2$\sqrt{3}$t，
解得t=$\frac{5}{3}$；
（2）当0＜t≤$\frac{5}{3}$时，S=$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2t=$\sqrt{3}$t²，
当$\frac{5}{3}$＜t＜5时，∵AD=AC-CD=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴DG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=5-t，
∵ED=DF=2t，
∴FG=2t-（5-t）=3t-5，
∵ED∥AB，
∴∠FHG=∠FGH=∠EDF=60°，
∴△GFH是等边三角形，
∴S═$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2t-$\frac{1}{2}$（3t-5）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（3t-5）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2t）²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（3t-5）²=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$（t-3）²+5$\sqrt{3}$，
∴t=3时，S有最大值5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积，二次函数的性质等，综合性较强，有一定难度．