Question

如图，P是⊙O上的一个点，⊙P与⊙O的一个交点是E，⊙O的弦AB（或延长线）与⊙P相切，C是切点，AE（或延长线）交⊙P于点F，连接PA、PB，设⊙O的半径为R，⊙P的半径为r（R＞r），
（1）如图1，求证：PA•PB=2rR；
（2）如图2，当切点C在⊙O的外部时，（1）中的结论是否成立，试证明之；
（3）探究（图2）已知PA=10，PB=4，R=2r，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：连接PO并延长交圆O于H，连接AH、PC，
∵AB是⊙P的切线
∴∠PCB=90°，
∵PH是直径，
∴∠PAH=90°，
∵∠PCB=∠PAH，
∵∠PBC=∠PHA，
∴△PBC∽△PHA，
∴=，
∴PA•PB=2Rr．

（2）结论还成立，
证明：如图：由（1）得：△PBC∽△PHA，
∴=，
∴PA•PB=2Rr．

（3）解：如图2，过P作AE的垂线，垂足是Q，连接PE，
∵PA=10，PB=4，R=2r，
而PA•PB=2Rr，
∴r=，R=2，
在△PCB和△PQE中，
∠CBP=∠QEP，∠PCB=∠PQE=90°，
∴△PCB∽△PQE，
∴=，
∴PQ=，
∴QE=，
由垂径定理得：EF=2QE=．
分析：（1）连接PO并延长交圆O于H，连接AH、PC，证△PBC和△PHA相似，推出比例式即可．
（2）证△PBC和△PAH相似即可推出答案．
（3）过P作AE的垂线，垂足是Q，连接PE，根据（1）的结论求出r，R，证△PCB∽△PQE，求出PQ，根据勾股定理和垂径定理求出即可．
点评：本题考查了对相似三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，切线的性质等知识点的连接和运用，解此题的关键是能综合运用这些性质证三角形相似，进而求出线段的长．