Question

6．如图，△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连接AE．
求证：（1）DE=DA；
     （2）CE²=AD•AC．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形30度角性质得到DE=$\frac{1}{2}$CD，根据已知条件AD=$\frac{1}{2}$DC，由此不难证明．
（2）先证明∠ECA=∠EAC=∠AED=30°，再证明△DEA∽△ECA即可．

解答 证明：（1）∵CE⊥BD，∠BDC=60°
∴∠ECD=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD，又∵CD=2DA，即DA=$\frac{1}{2}$CD，
∴ED=DA．
（2）∵∠EDC=60°=∠DEA+∠DAE，
∵DE=DA，
∴∠DEA=∠DAE=30°，
∵∠ECD=30°，
∴∠ECA=∠EAC=∠AED=30°，
∴EC=EA，
∵∠EAD=∠CAE，∠AED=∠ACE
∴△DEA∽△ECA，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴AE²=AD•AC，∴EA=EC，
∴EC²=AD•AC．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、等腰三角形得到和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形性质解决问题，属于中考常考题型．