Question

【题目】如图，是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，交边于点．

（1）求证：．

（2）连接，求的大小．

（3）过点作交于点，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据正方形的性质和垂直的定义得到∠ABC=∠GFC，由对顶角相等得到∠AGB=∠FGC，得到△AGB∽△CGF，根据相似三角形的性质证明结论；

（2）连接AC，证明△AGC∽△BGF，根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BFA，再根据正方形的性质解答即可；

（3）由平行线的性质得到∠CMF=∠AFB=45°，可得△CFM为等腰直角三角形，可得MF=CF，CM=CF，则AF-CF=AF-FM=AM，再证△AMC∽△BFC，由相似三角形的性质等量代换即可得出结论.

（1）∵四边形为正方形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）连接.

∵，

∴，

∴，

∵，

∴△AGC∽△BGF，

∴∠ACB=∠BFA.

∵四边形为正方形，为对角线，

∴，

∴；

（3）如图

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

，

∴，

∵，

∴，

∴△AMC∽△BFC.

∴，

∵，

∴，

∴.