Question

12．已知关于x的方程x²-2（a+b）x+c²+2ab=0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若CD是AB边上的高，AC=2，BD=3，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据判别式等于0可得出三边的关系，继而可判断出三角形的形状；
（2）结合（1）的结论，可证△ACD∽△ABC得$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{2}{AD+3}$=$\frac{AD}{2}$，解之可得答案．

解答 解：（1）△ABC是直角三角形，
∵方程x²-2（a+b）x+c²+2ab=0有两个相等的实数根，
∴△=4（a+b）²-4（c²+2ab）=0，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
则$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{2}{AD+3}$=$\frac{AD}{2}$，
解得：AD=1或AD=-4（舍），
故AD=1．

点评 本题考查一元二次方程的根与判别式的关系和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键