Question

设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x²+2（m﹣2）x+m²﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，

（1）若x₁²+x₂²=6，求m值；

（2）求的最大值．

Answer 1

【考点】二次函数的性质；根的判别式；根与系数的关系．

【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．

（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．

【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，

∴△=b²﹣4ac=4（m﹣2）²﹣4（m²﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，

∴m＜1，

结合题意知：﹣1≤m＜1．

（1）∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂=4（m﹣2）²﹣2（m²﹣3m+3）=2m²﹣10m+10=6

∴，

∵﹣1≤m＜1，

∴；

（2）=

=（﹣1≤m＜1）．

∴当m=﹣1时，式子取最大值为10．

【点评】本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△=b²﹣4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x₁+x₂=，x₁x₂=来化简代数式的值．