Question

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C在坐标轴上，OA=60cm，OC=80cm，动点P从点O出发，以5cm/s的速度沿x轴匀速向点C运动，到达点C即停止，设点P运动的时间为ts。

（1）过点P作对角线OB的垂线，垂足为点T，求PT的长y与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）在点P运动过程中，当点O关于直线AP的对称点O'恰好落在对角线OB上时，求此时直线AP的函数解析式；
（3）探索：以A，P，T三点为顶点的△APT的面积能否达到矩形OABC面积的？请说明理由。

Answer 1

解：（1）在矩形OABC中， ∵OA=60，OC=80， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴y=PT=3t， 当点P运动到C点时即停止运动，此时t的最大值为， 所以，t的取值范围是； （2）当O点关于直线AP的对称点O′恰好在对角线OB上时， A，T，P三点应在一条直线上（如答图2）， ∴， ∴， ∴， ∴OP=45， ∴点P的坐标为（45，0）， 设直线AP的函数解析式为y=kx+b， 将点A（0，60）和点P（45，0）代入解析式， 得，解这个方程组，得， ∴此时直线AP的函数解析式是； （3）由（2）知，当时，三点在一条直线上， 此时点不构成三角形； 故分两种情况 （i）当时，点T位于△AOP的内部（如图3）， 过A点作AE⊥OB，垂足为点E，由， 可得AE=48， ∴ =， 若，则应有， 即， 此时，所以该方程无实数根， 所以，当时，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的； （ii）当时，点T位于△AOP的外部（如图4）， 此时， 若，则应有，即， 解这个方程，得（舍去）， 由于， ∴， 而此时，所以也不符合题意，故舍去， 所以，当时，以A，P，T为顶点的△APT的面积也不能达到矩形OABC面积的， 综上所述，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的。