Question

4．如图．在⊙O中，C是$\widehat{AB}$的中点，当∠AOB为多少度时，四边形OACB是菱形？请说 明理由．

Answer 1

分析 由已知条件和圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，证出△OAC、△OBC是等边三角形，得出OA=OB=BC=AC，即可得出四边形OACB是菱形．

解答 解：当∠AOB=120°时，四边形OACB是菱形；理由如下：
∵C是$\widehat{AB}$的中点，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
∵OA=OB=OC，
∴△OAC、△OBC是等边三角形，
∴OA=AC=OC，OB=BC=OC，
∴OA=AC=OB=BC，
∴四边形OACB是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定方法、圆心角、弧、弦的关系定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．