Question

18．如图，已知直线y=kx+b与y=mx+n交于点P（1，4），它们分别与x轴交于A、B，PA=PB=2$\sqrt{5}$．
（1）求两个函数的解析式；
（2）若BP交y轴于点C，求四边形PCOA的面积．

Answer 1

分析 （1）作PH⊥x轴于H，如图，由P点坐标得PH=4，OH=1，先利用勾股定理可计算出BH=2，则OB=BH-OH=1，得到B点坐标为（-1，0），设AH=t，则AB=t+2，PA=AB=t+2，在Rt△PAH中，根据勾股定理得到4²+t²=（t+2）²，解得t=3，则OA=OH+AH=4，得到A点坐标为（4，0），然后利用待定系数法求两函数解析式；
（2）先确定C点坐标为（0，2），然后根据三角形面积公式和四边形PCOA的面积=S_△PAB-S_△BCO进行计算．

解答 解：（1）作PH⊥x轴于H，如图，
∵P点坐标为（1，4），
∴PH=4，OH=1，
∵PB=2$\sqrt{5}$，
∴BH=$\sqrt{{PB}^{2}{-PH}^{2}}$=2，
∴OB=BH-OH=1，
∴B点坐标为（-1，0），
设AH=t，则AB=t+2，PA=AB=t+2，
在Rt△PAH中，
∵PH²+AH²=PA²，
∴4²+t²=（t+2）²，解得t=3，
∴OA=OH+AH=1+2=3，
∴A点坐标为（3，0），
把A（3，0），P（1，4）代入y=kx+b得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$；
把B（-1，0），P（1，4）代入y=mx+n
得$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{m+n=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴两函数解析式分别为y=-2x+6；y=2x+2；

（2）把x=0代入y=2x+2得y=2，则C点坐标为（0，2），
四边形PCOA的面积=S_△PAB-S_△BCO
=$\frac{1}{2}$×5×4-$\frac{1}{2}$×1×2
=9．

点评 本题考查了两直线相交或平行的问题，关键是掌握两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．