Question

如图（1），是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作

60°的角，它的两边分别与AB，AC交于点M和N，连结MN。

（1）探究：之间的关系，并加以证明；    

 （2）若点M，N分别在射线AB，CA上，其他条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，在图（2）中画出相应的图形，并就结论说明理由。

 

                                                                               （1）

                                                                                                                                                  （2）

Answer 1

 【观察与思考】对于（1），这时在中，有

为了把BM，MN，NC集中到一个三角形中去，

 

作：                                                    （如图（1`），从而有MB=GC，而此时恰又有，

 

得。

 

                                                                                                                                                    （2`）

（1`）

对于（2），此时的图形（2`），仍作（1）中的的旋转，类似地可以推得MN=CN—BM

解：（1）关系为MN=BM+NC。

证明：延长AC到G，使CG=BM，连结DG，如图（2`）

。同理也有。

在，BM=CG。

。

在中，ND公用，DM=DG，

。

。

（2）此时，图形如图（2`），有关系式：MN=CN—BM。理由如下：

在CN上截取CG=BM，连结DG，如图（2`）。

与（1）中情况类似，可推得

仍与（1）中情况类似，可推得。