Question

拓广探索：
如图，△ABC和△ECD是等边三角形．
（1）如图1，若B，C，D三点在一条直线上，BE和AD有怎样的大小关系？试证明．
（2）如图2，若B，C，D三点不在一条直线上而两三角形内部不重合呢？
（3）如图3，若B，C，D三点不在一条直线上而两三角形内部部分重合呢？

Answer 1

分析：（1）图1，由等边三角形的性质可以得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，进而证明△BCE≌△ACD而得出结论；
（2）图2，由等边三角形的性质可以得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，进而证明△BCE≌△ACD而得出结论；
（3）图3，由等边三角形的性质可以得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，进而证明△BCE≌△ACD而得出结论．

解答：解：（1）BE=AD．理由如下：
∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD．
在△BCE和△ACD中

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；

（2）BE=AD．理由如下：
∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD．
在△BCE和△ACD中

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；

（3）BE=AD．理由如下：
∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD．
在△BCE和△ACD中

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD．

点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．