题目内容
（2010•市南区模拟）等边三角形是大家熟悉的特殊三角形，除了以前我们所知道的它的一些性质外，它还有很多其它的性质，我们来研究下面的问题：
如图1，点P是等边△ABC的中心，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，易证：BE+CF+AD=EC+AF+BD
问题提出：如图2，若点P是等边△ABC内任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，上述结论还成立吗？
为了解决这个问题，现给予证明过程：
证明：连接PA、PB、PC，在Rt△PBE和Rt△PEC中，PB2=PE2+BE2，PC2=PE2+CE2，∴PB2-PC2=BE2-CE2
同理可证：PC2-PA2=CF2-AF2，PA2-PB2=AD2-BD2．
将上述三式相加得：BE2-CE2+CF2-AF2+AD2-BD2=0，即：（BE+CE）（BE-CE）+（CF+AF）（CF-AF）+（AD+BD）（AD-BD）=0
∵△ABC是等边三角形，设边长为a．
∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a；
∴a（BE-CE）+a（CF-AF）+a（AD-BD）=0；
∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0；
∴BE+CF+AD=EC+AF+BD．
问题拓展：如图3，若点P是等边△ABC的边上任意一点，PD⊥AB于D，PF⊥AC于F，上述结论还成立吗？若成立，请直接写出结论，不用证明；若不成立，请说明理由．
问题解决：
如图4，若点P是等边△ABC外任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
如图1，点P是等边△ABC的中心，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，易证：BE+CF+AD=EC+AF+BD
问题提出：如图2，若点P是等边△ABC内任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，上述结论还成立吗？
为了解决这个问题，现给予证明过程：
证明：连接PA、PB、PC，在Rt△PBE和Rt△PEC中，PB2=PE2+BE2，PC2=PE2+CE2，∴PB2-PC2=BE2-CE2
同理可证：PC2-PA2=CF2-AF2，PA2-PB2=AD2-BD2．
将上述三式相加得：BE2-CE2+CF2-AF2+AD2-BD2=0，即：（BE+CE）（BE-CE）+（CF+AF）（CF-AF）+（AD+BD）（AD-BD）=0
∵△ABC是等边三角形，设边长为a．
∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a；
∴a（BE-CE）+a（CF-AF）+a（AD-BD）=0；
∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0；
∴BE+CF+AD=EC+AF+BD．
问题拓展：如图3，若点P是等边△ABC的边上任意一点，PD⊥AB于D，PF⊥AC于F，上述结论还成立吗？若成立，请直接写出结论，不用证明；若不成立，请说明理由．
问题解决：
如图4，若点P是等边△ABC外任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
分析：问题拓展：连接PA，然后根据“问题提出”的证明思路证明即可；
问题解决：连接PA、PB、PC，然后根据“问题提出”的证明思路证明即可．
问题解决：连接PA、PB、PC，然后根据“问题提出”的证明思路证明即可．
解答：解：问题拓展：BE+CF+AD=EC+AF+BD仍然成立．
理由如下：如图3，连接PA，在Rt△PAD和Rt△PBD中，PA2=AD2+PD2，PB2=BD2+PD2，
∴PA2-PB2=AD2-BD2，
同理可证：PC2-PA2=CF2-AF2，
又∵PB2=BE2，PC2=CE2，
∴PB2-PC2=BE2-CE2，
将上述三式相加得：AD2-BD2+CF2-AF2+BE2-CE2=0，
即：（BE+CE）（BE-CE）+（CF+AF）（CF-AF）+（AD+BD）（AD-BD）=0，
∵△ABC是等边三角形，设边长为a，
∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a，
∴a（BE-CE）+a（CF-AF）+a（AD-BD）=0，
∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0，
∴BE+CF+AD=EC+AF+BD；
问题解决：如图4，连接PA、PB、PC，
在Rt△PBE和Rt△PEC中，PB2=PE2+BE2，PC2=PE2+CE2，
∴PB2-PC2=BE2-CE2，
同理可证：PC2-PA2=CF2-AF2，PA2-PB2=AD2-BD2，
将上述三式相加得：BE2-CE2+CF2-AF2+AD2-BD2=0，
即：（BE+CE）（BE-CE）+（CF+AF）（CF-AF）+（AD+BD）（AD-BD）=0，
∵△ABC是等边三角形，设边长为a，
∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a，
∴a（BE-CE）+a（CF-AF）+a（AD-BD）=0，
∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0，
∴BE+CF+AD=EC+AF+BD．
理由如下：如图3，连接PA，在Rt△PAD和Rt△PBD中，PA2=AD2+PD2，PB2=BD2+PD2，
∴PA2-PB2=AD2-BD2，
同理可证：PC2-PA2=CF2-AF2，
又∵PB2=BE2，PC2=CE2，
∴PB2-PC2=BE2-CE2，
将上述三式相加得：AD2-BD2+CF2-AF2+BE2-CE2=0，
即：（BE+CE）（BE-CE）+（CF+AF）（CF-AF）+（AD+BD）（AD-BD）=0，
∵△ABC是等边三角形，设边长为a，
∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a，
∴a（BE-CE）+a（CF-AF）+a（AD-BD）=0，
∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0，
∴BE+CF+AD=EC+AF+BD；
问题解决：如图4，连接PA、PB、PC，
在Rt△PBE和Rt△PEC中，PB2=PE2+BE2，PC2=PE2+CE2，
∴PB2-PC2=BE2-CE2，
同理可证：PC2-PA2=CF2-AF2，PA2-PB2=AD2-BD2，
将上述三式相加得：BE2-CE2+CF2-AF2+AD2-BD2=0，
即：（BE+CE）（BE-CE）+（CF+AF）（CF-AF）+（AD+BD）（AD-BD）=0，
∵△ABC是等边三角形，设边长为a，
∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a，
∴a（BE-CE）+a（CF-AF）+a（AD-BD）=0，
∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0，
∴BE+CF+AD=EC+AF+BD．
点评：本题考查了等边三角形的性质，勾股定理的应用，读懂题目信息，理解证明思路与方法是解题的关键．
练习册系列答案
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