Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC的长为（　　）

• A．2

  3

• B．6
• C．2

  6

• D．3

  3

Answer 1

分析：首先过点O作OF⊥BC于F，由垂径定理可得BF=CF=

1

2

BC，然后由∠BAC=120°，AB=AC，利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠C与∠BAC的度数，由BD为⊙O的直径，即可求得∠BAD与∠D的度数，又由AD=6，即可求得BD的长，继而求得BC的长．

解答：解：过点O作OF⊥BC于F，
∴BF=CF=

1

2

BC，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠C=∠ABC=

180°-∠BAC

2

=30°，
∵∠C与∠D是

AB

对的圆周角，
∴∠D=∠C=30°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABD=60°，
∴∠OBC=∠ABD-∠ABC=30°，
∵AD=6，
∴BD=

AD

cos30°

=

6

3 2

=4

3

，
∴OB=

1

2

BD=2

3

，
∴BF=OB•cos30°=2

3

×

3

2

=3，
∴BC=6．
故选B．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线．