Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，BC＝4，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿直线BE折叠，点A对应点为点A'，延长BA'，交边DC于点F．若点F是DC的三等分点，则CD的长为_____．

Answer 1

【答案】或2

【解析】

设CD＝3x，分DF＝x，DF＝2x两种情况讨论，由折叠性质可得AB＝A'B，∠BA'E＝∠A＝90°，AE＝A'E，由“HL”可证Rt△A'EF≌Rt△DEF，可得A'F＝DF，由勾股定理可求CD的长．

解：如图，连接EF

∵四边形ABCD是矩形

∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°

∵点E是AD中点

∴AE＝DE，

∵将矩形ABCD沿直线BE折叠，

∴AB＝A'B，∠BA'E＝∠A＝90°，AE＝A'E

∴A'E＝DE，EF＝EF

∴Rt△A'EF≌Rt△DEF（HL）

∴DF＝A'F

设AB＝CD＝3x＝A'B，

若DF＝x，

∴A'F＝x，CF＝2x

∴BF＝4x，

在Rt△BCF中，BF2＝CF2+BC2，

∴16x2＝4x2+16

∴x＝

∴CD＝3x＝2

若DF＝2x，则CF＝x，

同理可得：CD＝

故答案为：或2