Question

13．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（-4，0）和点B（0，3）．
（1）确定此一次函数的解析式；
（2）求坐标原点O到直线AB的距离；
（3）点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD垂直于x轴于D，作PE垂直于y轴于E，记L=PD+PE，问L是否存在最大值和最小值？若存在，求出此时P点到原点O的距离，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设一次函数表达式为y=kx+b，经过A（-4，0）、B（0，3），代入解方程组即可．
（2）设坐标原点O到直线AB的距离为d，根据S_△ABO=$\frac{1}{2}$×AO×BO=$\frac{1}{2}$×AB×d，即可解决问题．
（3）过点P作PD⊥x轴于D，作PE⊥y轴于E，设P（x，y），构建一次函数，根据自变量的取值范围以及一次函数的增减性即可解决问题．

解答 解：（1）设一次函数表达式为y=kx+b，经过A（-4，0）、B（0，3）
代入得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴一次函数解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3．

（2）设坐标原点O到直线AB的距离为d，
在Rt△ABO中，OA=4，OB=3
根据勾股定理得AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵S_△ABO=$\frac{1}{2}$×AO×BO=$\frac{1}{2}$×AB×d
即4×3=5d，
d=$\frac{12}{5}$，
∴原点O到直线AB的距离为$\frac{12}{5}$．

（3）过点P作PD⊥x轴于D，作PE⊥y轴于E，设P（x，y），

∵P点在线段AB上，
∴y=$\frac{3}{4}$x+3，其中-4≤x≤0，
∴L=PD+PE=-x+y=-x+$\frac{3}{4}$x+3=-$\frac{1}{4}$x+3，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴L随x的增大而减小
∴当x=-4时，L_最大=4，此时P点坐标为（-4，4），P点到原点O的距离为
PO=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
当x=0时，L_最小=3，此时P点与B点重合，P点到原点O的距离为BO=3．

点评 本题考查一次函数综合题、待定系数法、一次函数的增减性、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练运用所学知识解决问题，学会构建一次函数解决最值问题，属于中考常考题型．