Question

某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=80时，y=40；x=70时，y=50．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

Answer 1

解：（1）60≤x≤60（1+40%），
∴60≤x≤84，
由题得：解之得：k=-1，b=120，
∴一次函数的解析式为y=-x+120（60≤x≤84）．

（2）销售额：xy=x（-x+120）元；成本：60y=60（-x+120）．
∴W=xy-60y，
=x（-x+120）-60（-x+120），
=（x-60）（-x+120），
=-x²+180x-7200，
=-（x-90）²+900，
∴W=-（x-90）²+900，（60≤x≤84），
当x=84时，W取得最大值，最大值是：-（84-90）²+900=864（元）．
即销售价定为每件84元时，可获得最大利润，最大利润是864元．
分析：（1）根据题意得：销售单价x≥成本60元，获利不得高于40%时，销售单价=60（1+40%），获利不得高于40%，则销售单价x≤60（1+40%）；再利用待定系数法把x=80时，y=40；x=70时，y=50．代入一次函数y=kx+b中，求出k，b即可得到关系式；
（2）根据题目意思，表示出销售额和成本，然后表示出利润=销售额-成本，整理后根据x的取值范围求出最大利润．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数在实际问题中的应用，做题时一定要弄清题意，理清关系，综合性较强，体现了数学与实际生活的密切联系．