Question

1．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[1]=1，[-1.2]=-2．
（1）解方程[3x]+x=6.8；
（2）已知x为正数，且x不为整数，利用四舍五入的方法把x近似（保留至个位）为x₀，其中x₀为正整数，请探究x₀与[x+0.5]之间的关系，并简述你的理由．
（3）已知O为坐标原点，以O为圆心，r为半径作圆，且r≤3，且该圆与函数y=[x+0.5]恰有两个不同的公共点，请直接写出r的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由[x]表示不超过x的最大整数，得出3x-1＜[3x]≤3x从而确定出x的范围，再由6.8-x为整数，从而得出x的值；
（2）设出x的小数部分，再分两种情况讨论即可；
（3）由y=[x+0.5]的图象是3段线段，借助图象，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴[3x]≤3x，[3x]＞3x-1
∵[3x]+x=6.8，
∴3x+x≥6.8，
∴x≥1.7，
∵[3x]+x=6.8，[3x]＞3x-1
∴3x-1+x＜6.8，
∴x＜1.95，
∴1.7≤x＜1.95
∵[3x]+x=6.8，
∴[3x]=6.8-x，
∵[3x]为整数，
∴6.8-x为整数，
∴x=1.8；
（2）设x的小数部分为a，
∵x=x₀+a，
∴x+0.5=x₀+a+0.5，
当0≤a＜0.5时，0.5≤a+0.5＜1，
∴x₀＜x+0.5＜x₀+1
∴[x+0.5]=x₀，
当0.5≤a＜1时，1≤a+0.5＜1.5，
∴x₀≤x+0.5＜x₀+1，
∴[x+0.5]=x₀，
即：[x+0.5]=x₀；
（3）如图，

①当0≤x＜$\frac{1}{2}$时，y=0，
∴0＜r＜$\frac{1}{2}$，
②当$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{3}{2}$时，y=1，
令x=$\frac{1}{2}$时，OA=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
令x=$\frac{3}{2}$，时，OB=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{2}＜r＜\frac{\sqrt{13}}{2}$
③当$\frac{3}{2}$≤x＜$\frac{5}{2}$时，y=2
，同②的方法得出$\frac{5}{2}$＜r＜$\frac{\sqrt{41}}{2}$，
∵r≤3，
∴$\frac{5}{2}$＜r≤3．
即：0＜r＜$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}＜r＜\frac{\sqrt{13}}{2}$或$\frac{5}{2}$＜r≤3．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了新定义，以及四舍五入法，勾股定理，解本题的关键是分类讨论．借助图象是解本题的难点．