Question

1．如图，直线L交x轴、y轴分别于A、B两点，A（a，0）B（0，b），且（a-b）²+|b-4|=0
（1）求A、B两点坐标；
（2）C为线段AB上一点，C点的横坐标是3，P是y轴正半轴上一点，且满足∠OCP=45°，求P点坐标；
（3）在（2）的条件下，过B作BD⊥OC，交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠CEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由（a-b）²+|b-4|=0，利用非负数的性质得到a-b=0，b-4=0，解得a=4，b=4，得到A（4，0），B（0，4）；
（2）如图1过点O作OM⊥OC交CP的延长线于M，得到等腰直角三角形，根据其性质得到OM=OC，利用直线AB的解析式，求出点C的坐标，从而得到点M的坐标，求得直线CM 的解析式，得到P点的坐标；
（3）过点A作AF⊥x轴，交OC的延长线于F，证明△BOD与△OAF，△ACE与△ACF全等，得到AE=AF，OD=AF，由等量代换得到OD=AE．

解答 （1）解：∵（a-b）²+|b-4|=0，
∴a-b=0，b-4=0，
∴a=4，b=4，
∴A（4，0），B（0，4）；

（2）如图1过点O作OM⊥OC交CP的延长线于M，
∵∠OCP=45°，
∴△OMC是等腰直角三角形，
∴OM=OC，
设直线AB的解析式为：y=kx+4，
∴0=4k+4，
∴k=-1，
∴直线AB的解析式为：y=-x+4，
当x=3时，y=1，
∴C（3，1），
∴M（-1，3），
∴直线CP的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
∴P（0，$\frac{5}{2}$）；

（3）过点A作AF⊥x轴，交OC的延长线于F，由（1）证得OA=OB，由（2）的条件得∠DBO=∠AOF，
∵∠BOD=∠OAF=90°，
在△BOD与△OAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBO=∠AOF}\\{OA=OB}\\{∠BOD=∠OAF}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△OAF，
∴OD=AF，∠BDO=∠AFO，
∵∠CAE=∠CAF=45°，
∵∠CEA=∠BDO，
∴∠CEA=∠AFO，
在△ACE与△ACF中$\left\{\begin{array}{l}{∠CEA=∠AFO}\\{AC=AC}\\{∠CAE=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ACF，
∴AE=AF，
∵OD=AF，
∴OD=AE．

点评 本题考查了非负数的性质，求点的坐标，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确的作出辅助线．