Question

20．如图，在等边△ABC中，AB=6，N为AB上一点，且AN=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．

解答 解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．
取BN中点E，连接DE．
∵等边△ABC的边长为6，AN=2，
∴BN=AC-AN=6-2=4，
∴BE=EN=AN=2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DE是△BCN的中位线，
∴CN=2DE，CN∥DE，
又∵N为AE的中点，
∴M为AD的中点，
∴MN是△ADE的中位线，
∴DE=2MN，
∴CN=2DE=4MN，
∴CM=$\frac{3}{4}$CN．
在直角△CDM中，CD=$\frac{1}{2}$BC=3，DM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴CM=$\sqrt{C{D}^{2}+M{D}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴CN=$\frac{4}{3}$．
∵BM+MN=CN，
∴BM+MN的最小值为2$\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．