Question

12．在△ABC中，AB=AC=10，将△ABC沿直线BD翻折，使点C落在直线AC上的点C′处，若AC=2，则BC=4$\sqrt{5}$或2$\sqrt{30}$．

Answer 1

分析 根据点C在边AC上和边AC外两种情况，画出图形，如图（1），（2），根据折叠的轴对称性分别求线段的长度，相等的角，证明相似三角形，由相似比求BC的长．

解答 解：当点C′在边AC上时（如图1），
∵AC=10，AC′=2，
∴CC′=AC-AC′=8，
由轴对称性可知∠BC′C=∠C，
∴∠BC′C=∠ABC，
∴△ABC∽△BC′C，
∴$\frac{BC}{CC′}$=$\frac{AC}{BC}$，
即BC²=CC′×AC=8×10=80，
解得BC=4$\sqrt{5}$，
当点C′在边AC外时（如图2），
∵AC=10，AC′=2，
∴CC′=AC+AC′=12，
由轴对称性可知∠BC′C=∠C，
∴∠BC′C=∠ABC，
∴△ABC∽△BC′C，
∴$\frac{BC}{CC′}$=$\frac{AC}{BC}$，
即BC²=CC′×AC=12×10=120，
解得BC=2$\sqrt{30}$．
故答案为：4$\sqrt{5}$或2$\sqrt{30}$．

点评 本题考查了折叠的性质．关键是根据题意，画出图形，利用三角形相似求解．