Question

19．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点
（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4直接写出BN的长；
（2）如图2，在△ABC中，FG∥BC，点D、E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，连接AD、AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使C、D是线段AB的勾股分割点（要求简单说明作图过程，保留作图痕迹，画出一种情形即可）

Answer 1

分析 （1）当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{FM}{BD}=\frac{AM}{MD}=\frac{MN}{DE}=\frac{AN}{NE}=\frac{GN}{CE}$=k．根据EC²=BD²+DE²，得到$\frac{1}{{k}^{2}}$GN²=$\frac{1}{{k}^{2}}$FM²+$\frac{1}{{k}^{2}}$MN²，于是得到结论；
（3）①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；

解答 解：（1）当MN为最大线段时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BM=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$，
当BN为最大线段时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}+A{M}^{2}}=\sqrt{16+9}=5$，
综上，BN=$\sqrt{7}$或5；
（2）证明：∵FG∥BC，
∴$\frac{FM}{BD}=\frac{AM}{MD}=\frac{MN}{DE}=\frac{AN}{NE}=\frac{GN}{CE}$=k．
∴FM=kBD，MN=kDE，GN=kCE．
∴EC²=BD²+DE²，
∴$\frac{1}{{k}^{2}}$GN²=$\frac{1}{{k}^{2}}$FM²+$\frac{1}{{k}^{2}}$MN²，
∴NG²=FM²+MN²．
∴点M，N是线段FG的勾股分割点；
（3）作法：①在AB上截取CE=CA；
②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；
③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；
点D即为所求；如图2所示．

点评 本题是三角形综合题目，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、本题难度较大，综合性强．