Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝BC．
（1）求∠BAC的度数．
（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形．
（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．

　　　

Answer 1

（1）解：连结OB和OC．
∵　OE⊥BC，∴　BE＝CE．
∵　OE＝BC，∴　∠BOC＝90°，∴　∠BAC＝45°．　　　　　　　

（2）证明：∵　AD⊥BC，∴　∠ADB＝∠ADC＝90°．
由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，
　　　　　　∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，　　　　　　　　
∴　∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．
∴　∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．
∴　四边形AFHG是正方形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．
设AD的长为x，则　BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．　　
在Rt△BCH中，BH²＋CH²＝BC²，∴　（x－6）²＋（x－4）²＝10²．
解得，x₁=12，x₂＝－2（不合题意，舍去）．
∴　AD＝12．