题目内容

如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，现有两动点P、Q分别从A、B同时出发，点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动，点Q在线段BC上沿BC方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1cm/s．
（1）设点Q的运动速度为
12
cm/s，运动时间为t s，△DPQ的面积为S，请你求出S与t的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，当△DPQ的面积最小时，求BQ的长；
（3）在（1）的条件下，当△DAP和△PBQ相似时，求BQ的长．
分析：（1）根据路程=速度×时间，用时间t的代数式分别表示出AP、BQ、BP、BQ的长，再根据S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△PBQ-S△DCQ即可得出关于S与t的函数关系式；
（2）由（1）可知，S是t的二次函数，运用配方法即可求解；
（3）由于∠PAD=∠PBQ=90°，所以当△DAP和△PBQ相似时，A与B是对应点，可分两种情况进行讨论：
①当∠ADP=∠BPQ时，△ADP∽△BPQ，根据相似三角形对应边的比相等列出比例关系式，求出此时t的值．进而求出BQ的长；
②当∠APD=∠BPQ时，△APD∽△BPQ，按照①的方法求t的值即可．
解答：解：（1）连接DQ．
S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△PBQ-S△DCQ
=10×6-
1
2
×6t-
1
2
×（10-t）•
1
2
t-
1
2
×10•（6-
1
2
t）
=60-3t-
5
2
t+
1
4
t2-30+
5
2
t
=
1
4
t2-3t+30；

（2）∵S△DPQ=
1
4
t2-3t+30=
1
4
（t-6）2+21，
∴当t=6时，S△DPQ最小，此时BQ=3cm；

（3）分两种情况：
①当∠ADP=∠BPQ时，△ADP∽△BPQ，
则
AD
BP
=
AP
BQ
，即
6
10-t
=
t
1
2
t
，
解得：t=7，
当t=7时，BQ=3.5cm；
②当∠APD=∠BPQ时，△APD∽△BPQ，
AP
BP
=
AD
BQ
，
t
10-t
=
6
1
2
t
，
t2+12t-120=0，
解得：t1=-6+2
39
，t2=-6-2
39
（不合题意，舍去）
当t=-6+2
39
时，BQ=
39
-3；
综上可知，当△DAP和△PBQ相似时，BQ的长为3.5cm或（
39
-3）cm．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数以及矩形的性质等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．
练习册系列答案
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A、精英家教网B、精英家教网C、精英家教网D、精英家教网
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2
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