Question

【题目】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为ts．

求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；

（2）当t＝2s时，P、Q两点之间的距离是多少？

（3）当t为多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1）Rt△CPQ的面积为S＝﹣6t2+24t（0＜t＜4）；（2）PQ＝10cm；（3）t＝2秒或t＝秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

【解析】

(1)由点P,点Q的运动速度和运动时间,又知AC,BC的长,可将CP.CQ用含t的表达式求出,代入直角三角形面积公式S△CPQ=CP CQ求解

(2)在Rt△CPQ中,当t=2秒,可知CP、CQ的长,运用勾股定理可将PQ的长求出

(3)应分两种情况:当R△CPQ∽R△CAB时根据 ,可将时间t求出;当Rt△ CPQ∽Rt△CBA时,根据 ,可求出时间t.

（1）由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t，

因此Rt△CPQ的面积为S＝ CP×CQ＝ （16﹣4t）×3t＝﹣6t2+24t（0＜t＜4）；

（2）由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t，

当t＝2秒时，CP＝16﹣4t＝8cm，CQ＝3t＝6cm，

在Rt△CPQ中，由勾股定理得PQ＝ ；

（3）由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t，

∵AC＝16cm，BC＝12cm．

∴①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝2秒；

②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时， ，即，解得t＝ 秒．

因此t＝2秒或t＝秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．