Question

14．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）试猜想DC与CF的数量关系，并说明理由；
（2）若CD=2，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）根据已知条件得到△CDE是等边三角形，由等边三角形的性质得到∠DEC=∠ECD=60°，CD=CE，求得CE=CF，等量代换即可得到结论；
（3）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-∠EDC=30°；

（2）CD=CF，
理由：∵DE∥AB，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠DEC=∠ECD=60°，CD=CE，
∵∠F=30°，
∴∠CEF=∠ECD-∠F=30°，
∴CE=CF，
∴CD=CF；

（3）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4，
∴EF=$\sqrt{3}$DE=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，熟记30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．