题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=-x²+bx经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（3，0），D（1，3）．
（1）求b的值（用t的代数式表示）；
（2）当3＜t＜4时，设抛物线分别与线段AD，BC交于点M，N．
①设直线MP的解析式为y=kx+m，在点P的运动过程中，你认为k的大小是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出k的值；
②在点P的运动过程中，当OM⊥MN时，求出t的值；
（3）在点P的运动过程中，若抛物线与矩形ABCD的四条边有四个交点，请直接写出t的取值范围．

解：（1）∵点P的坐标为（t，0），

∴0=-t²+bt，解得：b=t，
（2）①把x=1代入y=-x²+tx，
得y=t-1，即M（1，t-1），
∴ $\text{[math]}$ ，解得k=-1，
②如图，过点N作NH⊥AD于点H，
求得：BN=3t-9，MH=8-2t，HN=AB=2，
当OM⊥MN时，可证得△OAM∽△MHN，
故可得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍去）
从而可得： $\text{[math]}$ ．
（3）抛物线的解析式为y=-x²+bx=-（x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
①因为抛物线的顶点纵坐标大于点D和点C的纵坐标，所以 $\text{[math]}$ ＞3，
解得b＞2 $\text{[math]}$ 或b＜-2 $\text{[math]}$ ；
②当x=1时，y=-1+b＜3，
解得：b＜4，
综上可得：2 $\text{[math]}$ ＜b＜4．
分析：（1）将点P的坐标代入可得b的值．
（2）①将点M的横坐标x=1代入解析式，可得出点M的坐标，将M、P的坐标代入，得出方程组，解出即可得出k的值．
②过点N作NH⊥AD于点H，分别表示出BN、MH、HN，根据当OM⊥MN时，可证得△OAM∽△MHN，从而利用相似三角形的对应边成比例得出t的值．
（3）找两个极值点，①抛物线的顶点纵坐标一定要大于点C和点D的纵坐标，②当x=1时，抛物线的纵坐标一定不能超过点D的纵坐标．
点评：此题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式及相似三角形的判定与性质，难点在第三问，关键在于两个极值点的寻找．