Question

如图，P是正方形ABCD内一点，以正方形ABCD的一条边做为对角线，点P与这条边的两个端点作平行四边形，依次得点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是正方形．

Answer 1

考点：正方形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：证明题

分析：如图，连接BD、AC．则AC=BD．通过证明△AHE≌△PDB（SAS），推知HE=BD，∠AHE=∠PDB，则HE∥DB．易证四边形EFGH是平行四边形．同理，EF∥HG∥AC，EF=AC=HG，所以EH=EF，EH⊥EF，故四边形EFGH是正方形．

解答：证明：如图，连接BD、AC．则AC=BD．
∵四边形AHDP和四边形AEBP为平行四边形，
∴AH=DP，AE=BP．
又∵∠HAP+∠APD=180°，∠EAP+∠BPA=180°．
∴∠HAE=∠BPD，
在△AHE与△PDB中，

AH=PD ∠HAE=∠DPB AE=PB

，
∴△AHE≌△PDB（SAS），
∴HE=BD，∠AHE=∠PDB，
又∵AH∥PD，
∴HE∥DB．
同理，GF=BD，GF∥BD，
∴HE=GF，HE∥GF∥BD，
∴四边形EFGH是平行四边形．
同理，EF∥HG∥AC，EF=AC=HG，
又AC⊥BD，
∴EH=EF，EH⊥EF，
∴四边形EFGH是正方形．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质．证得EF⊥EH是解题的难点．