Question

用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab²+2ab+a．
如：1☆3=1×3²+2×1×3+1=16．
（1）求（-2）☆3的值；
（2）若（

a+1

2

☆3）☆（-

1

2

）=8，求a的值；
（3）若2☆x=m，（

1

4

x）☆3=n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．

Answer 1

考点：有理数的混合运算,整式的加减,解一元一次方程

专题：新定义

分析：（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；
（2）利用规定的运算方法得出方程，求得方程的解即可；
（3）利用规定的运算方法得出m、n，再进一步作差比较即可．

解答：解：（1）（-2）☆3=-2×3²+2×（-2）×3+（-2）
=-18-12-2
=-32；
（2）解：

a+1

2

☆3=

a+1

2

×3²+2×

a+1

2

×3+

a+1

2

=8（a+1）
8（a+1）☆（-

1

2

）
=8（a+1）×（-

1

2

）²+2×8（a+1）×（-

1

2

）+8（a+1）
=8
解得：a=3；                           
（3）由题意m=2x²+2×2x+2=2x²+4x+2，
n=

1

4

×3²+2×

1

4

x×3+

1

4

=4x，
所以m-n=2x²+2＞0．
所以m＞n．

点评：此题考查有理数的混合运算，理解运算方法是解决问题的关键．