Question

已知抛物线y=-

1

3

x²+bx-

10

3

经过点A（7，6），且与x轴交于B、C两点
（1）求b值及B、C两点的坐标；
（2）若直线x=t与抛物线交于P，与线段AB交于点Q，试问当t为何值时，线段PQ 的长最长？最长是多少？
（3）若点D是线段AB上任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E设ADE的高AF的长为小x，以DE为折痕将△ADE翻折，所得的△A’DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y，当0＜x＜6时，求y与x的函数关系式；并求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）把点A的坐标（7，6）代入抛物线解析式计算即可求出b的值，然后令y=0，解关于x的一元二次方程即可写出点B、C的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据抛物线的解析式与直线AB的解析式分别求出点P、与点Q的坐标，线段PQ的长就等于点P的纵坐标减点Q的纵坐标，整理后根据二次函数的最值问题求解即可；
（3）因为AH的长度是6，所以①分0＜x≤3时，△A′DE在梯形DBCE内部，重叠部分的面积等于△A′DE的面积，②3＜x＜6时，点A′在梯形DBCE的外部，重叠部分是一个梯形，求出DE的长度，△A′DE在x轴上两交点之间的距离，以及梯形的高，然后根据梯形的面积公式列式并整理，再根据二次函数的最值问题进行求解，综合两种情况便不难求出最大面积y．

解答：解：（1）∵抛物线y=-

1

3

x²+bx-

10

3

经过点A（7，6），
∴-

1

3

×7²+7b-

10

3

=6，
解得b=

11

3

，
∴抛物线解析式是y=-

1

3

x²+

11

3

x-

10

3

，
当y=0时，-

1

3

x²+

11

3

x-

10

3

=0，
解得x₁=1，x₂=10，
∴点B、C的坐标分别为B（1，0），C（10，0）；

（2）设直线AB的解析式是y=kx+b，
则

7k+b=6 k+b=0

，
解得

k=1 b=-1

，
∴直线AB的解析式是y=x-1，
∴点P的坐标为（t，-

1

3

t²+

11

3

t-

10

3

），点Q的坐标是（t，t-1），其中0＜t＜6，
PQ=-

1

3

t²+

11

3

t-

10

3

-（t-1）=-

1

3

t²+

8

3

t-

7

3

=-

1

3

（t-4）²+3，
∴当t=4时，线段PQ有最长值，最长值为3；

（3）①0＜x≤3时，如图，延长AF交x轴与H，
△A′DE在梯形DBCE内部，重叠部分的面积等于△A′DE的面积
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AF

AH

=

DE

BC

，
即

x

6

=

DE

10-1

，
解得DE=

3

2

x，
∴重叠部分的面积y=S_△A′DE=

1

2

DE•AF=

1

2

×

3

2

x×x=

3

4

x²，（0＜x≤3），
∴当x=3时，y有最大值，最大值y=

3

4

×3²=

27

4

，
②当3＜x＜6时，点A′在梯形DBCE的外部，重叠部分是一个梯形，如右图，
FH=AH-AF=6-x，A′H=A′F-FH=x-（6-x）=2x-6，
∵DE∥BC，
∴△A′MN∽△A′DE，
∴

A′H

A′F

=

MN

DE

，
即

2x-6

x

=

MN

3 2 x

，
解得MN=3x-9，
∴重叠部分的面积y=S_梯形MNED=

1

2

（MN+DE）•FH=

1

2

（3x-9+

3

2

x）（6-x）=

9

4

（x-4）²+9，（3＜x＜6），
当x=4时，y有最大值，最大值y=9，
9＞

27

4

，
综上所述，当x=4时，△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积y有最大值，最大值是9．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形面积的计算方法、三角形相似、函数图象交点等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．