Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与直线y=25有公共点，且仅当-

1

2

＜x＜

1

3

时抛物线在x轴上方，求a、b、c的取值范围．

Answer 1

分析：根据题意y=ax²+bx+c的图象与直线y=25有公共点，即ax²+bx+c-25=0有解，可得△=b²-4a（c-25）≥0，再根据不等式ax²+bx+c＞0的解是-

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2

＜x＜

1

3

，结合一元二次不等式的解集的性质，可得b、c与a的关系，代入△=b²-4a（c-25）≥0中，可得答案．

解答：解：∵抛物线y=ax²+bx+c与直线y=25有公共点，
∴依题意ax²+bx+c-25=0有解，
故△=b²-4a（c-25）≥0，
又不等式ax²+bx+c＞0的解是：-

1

2

＜x＜

1

3

，
∴a＜0且有x₁+x₂=-

b

a

=-

1

6

，x₁x₂=

c

a

=-

1

6

．
∴b=

1

6

a，c=-

1

6

a．
∴b=-c，代入△≥0得c²+24c（c-25）≥0．
∴c≥24．
故得a、b、c的取值范围为a≤-144，b≤-24，c≥24．

点评：本题主要考查了二次函数与不等式的知识点，二次方程ax²+bx+c=0，二次不等式ax²+bx+c＞0（或＜0）与二次函数y=ax²+bx+c的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题．