Question

在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.

（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.

（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.

（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.

 

 

Answer 1

（1）12；（2）判断△OCD是直角三角形，证明见解析；（3）连接OC，交半圆O于点P，这时点P的关联图形的面积最大，理由风解析，.

【解析】

试题分析：（1）当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，点P的关联图形是正方形AOPC+梯形OPDB，据此求解.

（2）证明OC⊥CD，作出判断.

（3）连接CD，因为梯形ACDB的面积为定值，故要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，则连接OC交半圆O于点P，应用三角形三边关系可证明点P为所确定的点的位置，从而由点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△PCD的面积求得点P的关联图形的最大面积.

试题解析：（1）∵A(-2，0)，∴OA=2,

∵P是半圆O上的动点，P在y轴上，

∴OP=2, ∠AOP=90°.

∵AC=2，∴四边形AOPC是正方形．∴正方形的面积是4.

又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面积= ,

∴点P的关联图形的面积是12.

（2）判断△OCD是直角三角形，证明如下：

如图，延长CP交BD于点F.则四边形ACFB为矩形，

∴CF=DF=4，∠DCF=45°，四边形AOPC是正方形，

∴∠OCP=45°.

∴∠OCD=90°．∴OC⊥CD.

∴△OCD是直角三角形.

（3）连接OC交半圆O于点P，则点P为所确定的点的位置，理由如下：

如图，连接CD，梯形ACDB的面积=为定值，

要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，

∵CD为定长，∴P到CD的距离就要最小.

连接OC，设交半圆O于点P，

∵AC⊥OA，AC=OA, ∴∠AOC=45°.

过C作CF⊥BD于F，则ACFB为矩形，∴CF=DF=4, ∠DCF=45°．∴OC⊥CD,OC=2.

∴PC在半圆外.

设在半圆O上的任意一点P′到CD的距离为P′H，

则P′H+P′O>OH>OC.

∵OC=PC+OP, ∴P′H> PC,.

∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大.

∵CD=4,CP=2-2, ∴△PCD的面积=.

又∵梯形ACDB的面积=，

∴点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△PCD的面积=.

考点：1.新定义和阅读理解型问题；2．动点问题；3.正方形、矩形的判定和性质；4．直角三角形的判定；5.三角形三边关系；6.转换思想的应用.