题目内容

如图，在平面直角坐标系中，△ABCS三个顶点的坐标分别为A（-6，0），B（6，0），C（0，m）（其中m＞0），延长AC到点D，使CD= $数学公式$ AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）D点的坐标是（用含m的代数式表示）
（2）当△ABC为等腰三角形时，作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的表达式；
（3）在△ABC为等腰三角形的条件下，点P为y轴上任一点，连接BP、DP，当BP+DP的值最小时，点P的坐标为．

解：（1）∵A（-6，0），B（6，0），C（0，m），
∴OA=OB=6，OC=m，AB=12，
∵DE∥AB，
∴△ABC∽△DEC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DF= $\text{[math]}$ OA=3，CF= $\text{[math]}$ OC= $\text{[math]}$ m，
∴OF= $\text{[math]}$ m，
则D的坐标是（3， $\text{[math]}$ m）．

（2）∵C点关于直线DE的对称点F，
又∵DE关于y轴对称，
∴四边形CDFE是菱形．
∴直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，则一定经过点F（0， $\text{[math]}$ ），
根据题意得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
则直线的解析式是：y=- $\text{[math]}$ mk+ $\text{[math]}$ m；

（3）∵△ABC为等腰三角形，
∴A、B关于y轴对称，
∴直线AD与y轴的交点C就是点P，坐标是（0，m）．
故答案是：（3， $\text{[math]}$ m）；（0，m）．
分析：（1）易证△ABC∽△DEC，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得DF，OF的长，则D的坐标即可求解；
（2）易证四边形CDFE是菱形，则直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，则一定经过点F（0， $\text{[math]}$ ），利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）△ABC为等腰三角形，则A、B关于y轴对称，因而直线AD与y轴的交点C就是点P，据此即可求解．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及待定系数法求函数的解析式，以及轴对称的性质，正确判断四边形CDFE是菱形是关键．