Question

【题目】如图1，在中，，．如图2，将向上翻折，使点落在上，记为点，折痕为．过点作平行线交延长线于点，连接．

（1）证明：四边形是菱形．

（2）若，求的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）利用含30度角的直角三角形的性质得到AC=2AB，利用翻折的性质得到AE=AB，DE⊥AC，再证明△AEF△CED，EF=DE，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证得结论；

（2）利用（1）的结论结合三角函数的知识，即可求得DE的长，从而求得DF的长度．

（1）在中，，．

∴AC=2AB，

由折叠的性质得：∠AED=∠B=90°，AE=AB，
∴AC⊥DF，
∵AC=2AB，
∴CE=AB=AE，

∵AF∥CD，

∴∠FAE=∠DCE，
在△AEF和△CED中，

，

∴△AEF△CED，

∴EF= ED，

又∵CE =AE，AC⊥DF，

∴四边形是菱形；

（2）由（1）得：AC=2AB=2 AE，

∴AE=3，

由折叠的性质得：∠EAD=∠BAD=(90°-∠ACB)= 30°，

∵，即，

∴DE=，

∴DF= 2DE=2．