Question

如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线MD交于点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接DC．若AB=10cm，AF=7cm，求CF的长．

Answer 1

解：连接DB．
∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∴在Rt△AED与Rt△AFD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴BE=AB-AF=3cm．
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC；
∴Rt△DCF与Rt△DBE中，，
∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），
∴CF=BE=3cm（全等三角形的对应边相等）．
分析：根据中垂线、角平分线的性质来证明△DCF≌△DEB（SAS），然后根据全等三角形的对应边相等推知BE=CF．
点评：本题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．解答此题时是通过作辅助线BD构建全等三角形Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）来证明全等三角形的对应线段CF=BE．