Question

（2012•鞍山）如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．
（1）直接写出直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据A（0，4），B（4，0）两点坐标，可求直线AB的解析式；
（2）作DG⊥y轴，垂足为G，由已知得OA=OB=4，△OAB为等腰直角三角形，而AD⊥AB，利用互余关系可知，△ADG为等腰直角三角形，则DG=AG=OG-OA=DM-OA=6-4=2，可求D点坐标；
（3）存在．已知O（0，0），B（4，0），设抛物线的交点式，将D点坐标代入求抛物线解析式，由于对顶角∠CFE=∠BFP=45°，故当△BPF与△FCE相似时，分为：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，4），B（4，0）两点坐标代入，
得

b=4 4k+b=0

，解得

k=-1 b=4

，所以，直线AB的解析式为y=-x+4；

（2）过D点作DG⊥y轴，垂足为G，
∵OA=OB=4，
∴△OAB为等腰直角三角形，
又∵AD⊥AB，
∴∠DAG=90°-∠OAB=45°，即△ADG为等腰直角三角形，
∴DG=AG=OG-OA=DM-OA=6-4=2，
∴D（2，6）；

（3）存在．
由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x-4），
将D（2，6）代入，得a=-

3

2

，所以，抛物线解析式为y=-

3

2

x（x-4），
由（2）可知，∠PBF=45°，则∠CFE=∠BFP=45°，C（2，2），
设P（x，0），则MP=x-2，PB=4-x，
①当∠ECF=∠BPF=90°时（如图1），△BPF与△FCE相似，
过C点作CH⊥EF，此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形，
则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4-x+2（x-2）=x，
将E（x，x）代入抛物线y=-

3

2

x（x-4）中，得x=-

3

2

x（x-4），解得x=0或

10

3

，即P（

10

3

，0），
②当∠CEF=∠BPF=90°时（如图2），此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形，
则PE=MC=2，将E（x，2）代入抛物线y=-

3

2

x（x-4）中，得2=-

3

2

x（x-4），
解得x=

6-2 6

3

或

6+2 6

3

，即P（

6+2 6

3

，0），
所以，P（

10

3

，0）或（

6+2 6

3

，0）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据A、B两点坐标判断△ABC的形状，利用互余关系判断其它三角形形状，求出D点坐标及抛物线解析式，根据△BPF为等腰直角三角形，△BPF与△FCE相似，且有对顶角相等，由直角的对应关系，分类求P点坐标．