题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣
x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+
x+3；（2）存在．点D的坐标为（，3）或（
，
）；（3）G（，
）．
【解析】
（1）根据
，求出A，B的坐标，再代入抛物线解析式中即可求得抛物线解析式；
（2）△BDE和△ACE相似，要分两种情况进行讨论：①△BDE∽△ACE，求得
，
；②△DBE∽△ACE，求得
，
；
（3）由DEGF是平行四边形，可得DE∥FG，DE=FG，设
，
，
，
，根据平行四边形周长公式可得：DEGF周长=
，由此可求得点G的坐标．
解：（1）在中，令
，得
，令
，得
，
，
，
将
，分别代入抛物线
中，得：
，解得：
，
抛物线的函数表达式为：
．
（2）存在．如图1，过点
作
于
，设
，则
，
，
；
，
，
，
，
和
相似，
或
①当
时，
，
，即：
，解得：
（舍去），
（舍去），
，
，
②当时，
，
，即：
，解得：（舍
，（舍，
，
，；
综上所述，点
的坐标为
，或
，；
（3）如图3，
四边形
是平行四边形
，
设，，，，
则：
，
，
，即：
，
，即：
过点
作
于
，则
，即：
，即：
周长
，
当
时，
周长最大值
，
，
．
【题目】某班数学兴趣小组对函数
的图象和性质将进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量
的取值范围是除0外的全体实数，与
的几组对应值列表如下：
| … |
|
|
|
| 1 | 2 | 3 | 6 | … |
| … | 1 | 2 |
| 6 | 1 | 3 | 2 | 1 | … |
其中，
_________．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出一条函数性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴交点情况是________，所以对应方程
的实数根的情况是________．
②方程
有_______个实效根；
③关于的方程
有2个实数根，
的取值范围是________．
