Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4， ∠B=45^。动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为t秒。

（1）求BC的长；
（2）当 MN∥AB 时，求t的值。
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形。

Answer 1

（1）如图，过A、D分别作于K，于H，则四边形ADHK是矩形。
∴
在中，

在中，由勾股定理得，
∴

（2）如图，过D作交BC于G点，则四边形ABGD是平行四边形。
∵            ∴     ∴      ∴
由题意知，当M、N运动到t秒时，
∵            ∴
又∵         ∴          ∴即  解得。

（3）分三种情况讨论：
①当NC=MC时，如图③，即 ，∴

②当MN=NC时，如图④，过N作于E
解法一：由等腰三角形三线合一性质得
在中，
又在中，          ∴      解得
解法二：
∵           ∴     ∴
即，∴
③当MN=MC时，图“略”，过M作于点F， ，（方法略），当、或时，为等腰三角形。