Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE。

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值。

Answer 1

解：（1）证明：如图，连接OD、OE、BD ∵AB是⊙O的直径， ∴∠CDB=∠ADB=90°， ∵E点是BC的中点， ∴DE=CE=BE， ∵OD=OB，OE=OE， ∴△ODE≌△OBE， ∴∠ODE=∠OBE=90°， ∴直线DE是⊙O的切线； （2）如图，过O作OH⊥AC于点H， 由（1）知BD⊥AC，EC=EB， ∵OA=OB， ∴OE∥AC，且OE=， ∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF， ∵CF=OF， ∴△DCF≌△EOF， ∴DC=OE=AD， ∴BA=BC， ∴∠A=45°， ∵OH⊥AD， ∴OH=AH=DH， ∴CH=3OH， ∴tan∠ACO=。