Question

如图①，一只蚂蚁从圆锥底面的A点出发，沿侧面绕行一周后到达母线SA的中点M．蚂蚁沿怎样的路径行走最合算？为了解决这一问题，爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究．
（1）善于表现的银银首先列出了一组数据：圆锥底面半径r=10cm，母线SA长为40cm，就这组数据，请你求出蚂蚁所走的最短路程；
（2）一向稳重的慧慧只给出一个数据：圆锥的锥角等于60°（如图②），请问：蚂蚁如何行走最合算？
（3）通过（1）、（2）的计算与归纳，银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法，可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周，
①请你分析，乐乐为什么认为他们考虑欠周？
②结合上面的研究，请你给出这一问题的一般性解法．

Answer 1

【答案】分析：圆锥展开成平面后是扇形，要路径最短，就要展开后，蚂蚁爬的是直角三角形的一条直角边才可以．
（1）根据条件求出展开的扇形的圆心角度数，然后求结果看看．
（2）根据锥角可找出母线和半径的关系，但都不知道长．
（3）根据求得的数据和不能求解可知道考虑千周，然后给出一般性解法．
解答：解：（1）2π•10=nπ•40÷180°
n=90°，
AM==20．

（2）∵锥角为60°，
∴底面半径的长和母线的长相等，
但缺少母线的长．

（3）①因为银银的数据不合理，因为慧慧缺少条件．
②（1）展成平面图形．
（2）知道母线的长，知道扇形的圆心角度数，以及M是SA的中点，根据三角函数或者构造直角三角形来求解．
点评：本题考查平面展开最短路径问题，关键知道圆锥展开成平面后是扇形，且爬行的路线是三角形的一边，根据三角形的特点求解．