Question

如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AC上，与△ABC另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D不与A重合），设AF=x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）x为何值时y的值最大？
（3）x在哪个范围取值时y的值随x的增大而减小？

Answer 1

（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠CED，∠AFD=∠FDE=90°，
∴∠C=∠CED，
∴DC=DE．（2分）
在Rt△ADF中，∵∠A=45°，
∴∠ADF=45°=∠A，
∴AF=DF=x，
∴AD=

x

cos45°

=

2

x，（3分）
∴DC=DE=1-

2

x，（4分）
∴y=

1

2

（DE+FB）×DF=

1

2

（1-

2

x+1-x）x=-

1

2

（

2

+1）x²+x．
∵点D保持在AC上，且D不与A重合，
∴0＜AD≤1，
∴0＜

2

x≤1，
∴0＜x≤

2

2

．
故y=-

1

2

（

2

+1）x²+x，自变量x的取值范围是0＜x≤

2

2

；（8分）

（2）∵y=-

1

2

（

2

+1）x²+x，
∴当x=-

1

2×(- 1 2 )( 2 +1)

=

2

-1＜

2

2

时，y有最大值；（10分）

（3）∵y=-

1

2

（

2

+1）x²+x，0＜x≤

2

2

，-

1

2

＜0，
∴当

2

-1≤x≤

2

2

时，y随x的增大而减小．（14分）