Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=

2

m

x2-2x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且对称轴与x轴交于点C．
（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为（0，2），求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵y=

2

m

x2-2x=

2

m

(x2-mx+

1

4

m2)-

2

m

•

1

4

m2=

2

m

(x-

1

2

m)2-

1

2

m，
∴抛物线的顶点B的坐标为(

1

2

m，-

1

2

m)．

（2）令

2

m

x2-2x=0，解得x₁=0，x₂=m．
∵抛物线y=

2

m

x2-2x与x轴负半轴交于点A，
∴A（m，0），且m＜0．
过点D作DF⊥x轴于F，如右图；
由D为BO中点，DF∥BC，可得CF=FO=

1

2

CO．
∴DF=

1

2

BC．
由抛物线的对称性得AC=OC．
∴AF：AO=3：4．
∵DF∥EO，
∴△AFD∽△AOE．
∴

FD

OE

=

AF

AO

．
由E（0，2），B(

1

2

m，-

1

2

m)，得OE=2，DF=-

1

4

m．
∴

- 1 4 m

2

=

3

4

．
∴m=-6．
∴抛物线的解析式为y=-

1

3

x2-2x．

（3）依题意，得A（-6，0）、B（-3，3）、C（-3，0）．可得直线OB的解析式为y=-x，直线BC为x=-3．
作点C关于直线BO的对称点C′（0，3），连接AC′交BO于M，则M即为所求．
由A（-6，0），C′（0，3），可得直线AC′的解析式为y=

1

2

x+3．
由

y= 1 2 x+3 y=-x

解得

x=-2 y=2.

∴点M的坐标为（-2，2）．
由点P在抛物线y=-

1

3

x2-2x上，设P（t，-

1

3

t2-2t）．
（ⅰ）当AM为所求平行四边形的一边时．
①如右图，过M作MG⊥x轴于G，过P₁作P₁H⊥BC于H，
则x_G=x_M=-2，x_H=x_B=-3．
∵四边形AMP₁Q₁为平行四边形，
∴AM=P₁Q₁，∠P₁Q₁H=∠AKC，
∵BK∥MG，
∴∠AMG=∠AKC，
∴∠P₁Q₁H=∠AMG，
∵

∠AGM=∠P1HQ1 ∠AMG=∠P1Q1H AM=P1Q1

，
∴△AMG≌△P₁Q₁H．
∴P₁H=AG=4．
∴t-（-3）=4．
∴t=1．
∴P1(1，-

7

3

)．
②如右图，同①方法可得P₂H=AG=4．
∴-3-t=4．
∴t=-7．
∴P2(-7，-

7

3

)．
（ⅱ）当AM为所求平行四边形的对角线时，如右图；
过M作MH⊥BC于H，过P₃作P₃G⊥x轴于G，则x_H=x_B=-3，x_G=xP3=t．
由四边形AP₃MQ₃为平行四边形，可证△AP₃G≌△MQ₃H．
可得AG=MH=1．
∴t-（-6）=1．
∴t=-5．
∴P3(-5，

5

3

)．
综上，点P的坐标为P1(1，-

7

3

)、P2(-7，-

7

3

)、P3(-5，

5

3

)．