Question

【题目】已知抛物线l1：y＝x2+c，当其函数值y＝1时，只有一个自变量x的值与其对应

（1）求c的值；

（2）将抛物线l1经过平移得到抛物线l2：y＝（x﹣p）2﹣1．

①若抛物线l2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，记△ABC的外心为P，当﹣1≤p≤时，求点P的纵坐标的取值范围；

②当0≤x≤2时，对于抛物线l1上任意点E，抛物线l2上总存在点F，使得点E、F纵坐标相等，求p的取值范围

Answer 1

【答案】（1）c＝1；（2）①；②和

【解析】

只有一个x与其对应的函数值即顶点的值，进而求出c．
①用p表示A、B、C的坐标，由于外心是三角形三边垂直平分线的交点，故点P在抛物线的对称轴上，用p表示BC中点D，即直线PD垂直平分求出直线BC解析式的，利用两直线垂直时，，求出直线PD解析式的并求出解析式，把代入即用p表示出P的纵坐标．再由计算点P纵坐标的范围．

②先求出时，对于抛物线对应的函数值范围根据题意，即的每一个函数值，都能在抛物线上有对应的函数值，故抛物线的函数值范围应比抛物线的大，即最小值小于等于1，最大值大于等于对抛物线的对称轴进行分类讨论，不同情况下在时的最大值最小值取值不相同，每种情况里根据“最小值小于等于1，最大值大于等于2”列出不等式组，即求出p的范围．

解：当函数值时，只有一个自变量x的值与其对应，
抛物线的顶点纵坐标为1，
．
①当时，解得：，，
，，
当时，，
，
中点为，
设直线BC解析式为：，
解得：，
点P为的外心，
点P在抛物线对称轴上，直线PD垂直平分BC，
设直线PD解析式为：，
，即，
把D代入得：，
解得：，
直线PD解析式为：，
当时，，
，
，
，
点P的纵坐标的取值范围是；
②对于抛物线：，当时，，
抛物线上总存在点F，使得F纵坐标与上任意点E的纵坐标相等，
抛物线在时，y的取值范围比的大，即最小值值，最大值，
若，则抛物线在时，y随x的增大而增大，
时，最小值；时，最大值，
，解得：；
若，则时y最小，时y最大，
，
解得：或，不成立；
若，则时y最小，时y最大，
，
解得：或，不成立；
若，则抛物线在时，y随x的增大而减小，
时y最大，时y最小，
，解得：；
综上所述，p的取值范围为：和.