Question

四边形ABCD为矩形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E．

（1）如图1，若AB=BC，BF∥DE，且交AG于点F，求证：AF﹣BF=EF；

（2）如图2，在（1）条件下，AG=BG，求；

（3）如图3，连EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，则CE=　_________　（直接写出结果）

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，AB=BC，

∴四边形ABCD为正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

又DE⊥AG，BF∥DE，

∴∠AED=∠AFB=90°，

∵∠BAF+∠DAE=90°，∠BAE+∠ABF=90°，

∴∠DAE=∠ABF，

在△AED和△BFA中，

∴△AED≌△BFA（AAS），

∴AE=BF，

∴AF﹣BF=EF，

（2）如图2，延长AG与DC交于点F，

∵AG=BG，设BG=t，则AG=t，

在Rt△ABG中，AB==2t，

∴G为BC的中点，

在△ABG和△FCG中，

∴△ABG≌△FCG（AAS），

∴AB=FC=CD，

又∵DE⊥AG，

在Rt△DEF中，C为斜边DF的中点，

∴EC=CD=CF，

∴==

（3）如图3，连接DG，作EM⊥BC于M点，

∵DE⊥AG，DE=2，GE=1，

∴在RT△DEG中，DG===，

∵CG=CD，

∴在RT△DCG中，∠CDG=∠CGD=45°，

∴CD=CG==，

∵∠BAG+∠GAD=90°，∠EDA+∠GAD=90°，

∴∠BAG=∠EDA，

∵∠ABG=∠DEA=90°，

∴△ABG∽△DEA，

∴=，

设AD=x，则AE==，AG=+1，

∴=，

解得x₁=，x₂=﹣2（舍去）

∴AE==，

又∵∠BAG=∠MEG，

∴∠EDA=∠MEG，

∴△EMG∽△DEA

∴==，即==

解得EM=，MG=，

∴CM=CG+MG=+=，

∴CE===．

故答案为：．