Question

【题目】已知抛物线c:y=－x2－2x＋3和直线l:y=x＋d。将抛物线c在x轴上方的部分沿x轴翻折180°，其余部分保持不变，翻折后的图象与x轴下方的部分组成一个“M”型的新图象(即新函数m：y=－|x2＋2x－3|的图象)。

(1)当直线l与这个新图象有且只有一个公共点时，d= ；

(2)当直线l与这个新图象有且只有三个公共点时，求d的值；

(3)当直线l与这个新图象有且只有两个公共点时，求d的取值范围；

(4)当直线l与这个新图象有四个公共点时，直接写出d的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)d=；(2)d=或d=(3)<d<或d<； (4)<d<。

【解析】

（1）令－x2－2x＋3=x＋d求解即可；

（2）设抛物线c:y=－x2－2x＋3与x轴交于点A(－3,0)，点B(1,0)，则根据方程有两个相等的实根求出P的坐标，然后求解即可；

（3）（4）根据（2）求出的P点坐标进行数形结合画图找出d的取值范围即可.

解：(1)当直线l经过点A(－3,0)时，d=；

(2)设抛物线c:y=－x2－2x＋3与x轴交于点A(－3,0)，点B(1,0)，

直线l:y=x＋d与抛物线c:y=x2＋2x－3(－3<x<1)相切于点P，则点P的横坐标恰好是方程x＋d=x2＋2x－3，即2x2＋3x－2d－6=0(－3<x<1)的两个相等实数根，解△=9＋8(2d＋6)=0得d=，

∴点P的坐标为().

①当直线l经过点B(1,0)时，直线l与这个新图象有且只有三个公共点，解得d=；

②当直线l经过点P()时，直线l与这个新图象有且只有三个公共点，解得d=； 　　　　　　

∴综合①、②得：d=或d=

(3)①由平移直线l可得：直线l从经过点A(－3,0)开始向下平移到直线l经过点P()的过程中，直线l与这个新图象有且只有两个公共点，可得<d<

②直线l从经过点P()继续向下平移的过程中，直线l与这个新图象有且只有两个公共点，可得d<；

∴综合①、②得：<d<或d<；

(4)如图：当直线l经过点B(1,0)时，直线l与这个新图象有且只有三个公共点，解得d=；

当直线l继续向下平移的过程中经过点P()，直线l与这个新图象有且只有三个公共点，可得d=；

∴要使直线l与这个新图象有四个公共点则d的取值范围是<d<.