Question

如图，已知A为⊙O外一点，连接OA交⊙O于P，AB切⊙O于B，AP=6cm，AB=6

3

cm．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）根据切割线定理计算：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
（2）从图中要能看出阴影部分的面积=三角形的面积-扇形的面积．依面积公式计算即可．

解答：解：（1）设⊙O的半径为r．
根据切割线定理得：
（6

3

）²=6×（6+2r），
解得r=6cm；

（2）由（1）知，r=6cm，即OB=6cm，∠ABO=90°，
∴tan∠AOB=

AB

OB

=

3

，
∴∠AOB=60°，
从图中可以看出阴影部分的面积=S_△AOB-S_扇形OBP=

1

2

×6×6

3

-

60 ×π×62

360

=18

3

-6π（cm²）．

点评：本题主要考查了切线的性质、勾股定理及扇形的面积公式．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．